群の発見 #5 - 予測不可能な決定系

1月17日のまとめ．
テキストのp15問1.6からp17中段まで．

問1.6

nを与えられた自然数とし，Gを1のn乗根全体からなるCの部分集合とする．このときGは位数nの巡回群であることを示せ．
また， $d \geq 1$ をnの任意の約数とすると，Gは1のd乗根を全て含むことを示せ．
とくに，1の原始d乗根を含む．

[証明]
$a = e^{\frac{2\pi i}{n} = \cos \frac{2\pi}{n} + i\sin \frac{2\pi}{n}$ とおくと， $G=\{a^{k} | k=0, 1, \cdots, n-1 \}$ と書ける．0以上n-1以下の任意のi, j に対して $a^{i} \neq a^{j}$ であり，積に関して結合律も成り立つ． $1=a^{0}$ が単位元となる．任意の $a^{k}$ に対して， $(a^{-k})^{n} = 1$ より $a^{-k} \in G$ ．
また， $a^{n} = 1$ である．よってGは位数n の巡回群である．

dはnの約数なので，ある自然数f を用いて n = df と書ける．
$b=a^{f}$ とおくと， $b^{d}=a^{df}=a^{n}=1$ よりbの位数はdである．
$b=a^{f}=e^{\frac{2\pi i}{n}f}=e^{\frac{2\pi i}{d}$
より，1のd乗根全体は， $\{b^{k} | k=0, 1, \cdots, d-1 \}$ と書ける．
0以上d-1以下の任意のkについて，
$(b^{k})^{n}=a^{fkn} = 1$ なので， $b^{k} \in G$ である．
よって，Gは1のd乗根を全て含む．
1の原始d乗根全体は，1のd乗根全体の部分集合なのでGに含まれる．[証明終]

2面体群とは何だろう…

巡回群Gの任意の元が元aのベキで表示出来るとき， $G=\langle a \rangle$ と書き，aをGの生成元(generator)という．また，Gの位数がnならば $G= \langle a|a^{n} = 1 \rangle$ と書くことが出来る．

一般に， $G= \langle a, b|a^{n}=b^{2}=1, ba=a^{-1}b \rangle$ となる群を位数2nの2面体群(dihedral group)という．

上記の定義によると正n角形のシンメトリー群は2面体群であるが，2面体群の定義を正n角形のシンメトリー群とするものもある．

一般に群Gの任意の元が元a, b, c, … を用いて表示出来るとき，Gは{a, b, c, …}で生成されるといい，a, b, c, …を生成元という．

また，群Gの任意の元a, bに対して ab=ba となるとき，群Gをアーベル群(abelian group)または可換群(commutative group)という．アーベル群ではない群を非アーベル群または非可換群という．

ここで本来の目的を思い出すと，それは対称性があるものに対して，対称性の大きさや複雑さを計る尺度を手に入れることだった．
正n角形の平面内のシンメトリー群を $H_{n}$ ，空間内のシンメトリー群を $G_{n}$ とする．
nを大きくすることで群の位数が大きくなり，正n角形の対称性が大きくなっていくことが量的に表されている．
また， $|H_{2n}|=|G_{n}|$ より，この2つの群は量的には同じだが，一方は巡回群，もう一方は2面体群であり構造が異なることがわかる．可換性も異なる．この違いをまとめると次の表のようになる．

	位数	構造	可換性
$H_{2n}$	2n	巡回群	アーベル群
$G_{n}$	2n	2面体群	非アーベル群

このように，シンメトリー群を考えることで対称性の大きさや複雑さを計ることができる．

正n角形のnを∞にしたら…

正n角形に対してn → ∞ とし，仮に正∞角形があるとすると対応するシンメトリー群は

$G_{\infty} = \langle A, B | B^{2} = 1, BA=A^{-1}B \rangle$
となるはず．この群では元Aの位数は無限，群の位数も無限(可算)である．

直感的には正∞角形は円と等しい気がするが，円に対するシンメトリー群は次のようになる．

$G_{circle}=\langle R(\theta),T|0 \leq \theta < 2 \pi , T^{2}=I, TR(\theta)=R(-\theta)T \rangle$
ここでR(θ)は円の中心を通る垂直線を回転軸とするθ(ラジアン)の回転，Tはあるひとつの裏返し操作である．
この群の位数は無限(非可算)なので正∞角形のそれと異なる．

つまり，群論的には正∞角形と円は異なるのである！

可算と非可算

以下はテキストにはないが，可算集合と非可算集合の間に1:1の対応が付けられないことの証明である．

そもそも可算集合とは自然数全体の集合Nとの間に1:1対応があること，非可算集合とは実数全体の集合Rとの間に1:1対応があることである．

ここではNと開区間(0,1)の間に1:1対応が付けられないことを示す．

開区間(0,1)の元x を $x=0.a_{1}a_{2} \cdots a_{n} \cdots , (a_{i} \in \{0, 1, \cdots ,9\})$ と書くことにする．
$f:\mathbf{N} \to (0,1)$ を任意の写像とする．
$V(f)=\{f(1),f(2), \cdots , f(n), \cdots \}$ の各元を
$f(1)=0.a^{1}_{1}a^{1}_{2}a^{1}_{3} \cdots a^{1}_{n} \cdots$
$f(2)=0.a^{2}_{1}a^{2}_{2}a^{2}_{3} \cdots a^{2}_{n} \cdots$
…
$f(n)=0.a^{n}_{1}a^{n}_{2}a^{n}_{3} \cdots a^{n}_{n} \cdots$
…
とする．
任意の自然数n に対して

と定義し， $\beta = 0.b_{1}b_{2} \cdots b_{n} \cdots$ とする．
このとき $\beta \in (0,1)$ だが任意のn についてβの小数第n位 $b_{n}$ とf(n)の小数第n位 $a_{n}$ は異なる．よって，任意のn について $\beta \neq f(n)$ すなわち $\beta \notin V(f)$
従ってf は全射とならないのでNと開区間(0,1)の間に1:1対応が付けられない．