群の発見 #4 - 予測不可能な決定系

1月10日のまとめ．
テキストのp13からp15問1.6の前まで．

正n角形の(3次元空間内の)シンメトリー群をGとする．
正n角形の各頂点に1〜nと番号を付け，Aを360゜/nの回転とし，Bを頂点1と中心を通る直線に対して180゜の回転(裏返し)のシンメトリーとする．

このとき，Gは
$G = \{I, A, \cdots, A^{n-1}, B, AB, A^{2}B, \cdots, A^{n-1}B \}$
と書ける．

[証明]
問1.1より，|G| = 2n である．
また， $\{ I, A, \cdots, A^{n-1} \}$ の各元がそれぞれ異なることは明らかである．

$\{B, AB, A^{2}B, \cdots, A^{n-1}B \}$ の各元はそれぞれ異なる
$\{I, A, \cdots, A^{n-1}\} \cap \{B, AB, A^{2}B, \cdots, A^{n-1}B \} = \emptyset$

を言えればよい．

1.を言うためにには次の簡約律が言えればよい．

問1.3(簡約律): a, b, cを群の元とするとき，ab=ac 又は ba=ca ならば b=c である．

[問1.3の証明]
ab=ac のとき，両辺にaの逆元を左から掛けると b=c となる． ba=ca のときは右から掛けるとよい．[問1.3の証明終]

問1.3より $\{B, AB, A^{2}B, \cdots, A^{n-1}B \}$ の任意の2つの元 $A^iB, A^jB (0 \leq i,j \leq n-1, i \neq j)$ に対し， $A^iB = A^jB$ ならば $A^i = A^j$ となる． $i \neq j$ よりこれはAの定義に矛盾する．よって1.が成り立つ．

問1.4: 群Gは単位元eをただ1つ持つ．Gの各元aは逆元a'をただ1つ持つ．a'の逆元はaである．

[問1.4の証明]
群Gの演算を * とする．
e'をGのもう一つの単位元とすると，e' = e*e' = e となる．一つ目の等号はeが単位元であること，二つ目の等号はe'が単位元であることからいえる．
a''をaに対するもう一つの逆元とすると，a'' = a''*e = a''*(a*a') = (a''*a)*a' = e*a' = a'となる．一つ目，二つ目，四つ目，五つ目の等号はeが単位元であること，三つ目の等号は結合律からいえる．[問1.4の証明終]

2.を示す．
共通部分が空でないとすると， $A^{i} = A^{j}B$ となる， $0 \leq i,j \leq n-1$ が存在する．
この等式に $A^{j}$ の逆元を左から掛けると $A^{i-j} = B$ となる(問1.4より $A^{j}*A^{-j}$ の結果が一意に定まる)．
これはBがAのベキで表せることを意味する．一方，Bは頂点1を固定する裏返しなので $B=A^{i-j}=I$ となる．これはBの定義に矛盾する．
よって共通部分は空である．

1., 2.より
$G = \{I, A, \cdots, A^{n-1}, B, AB, A^{2}B, \cdots, A^{n-1}B \}$
がいえた．

正n角形のシンメトリー群Gは次の等式を満たす．

問1.5
$BA=A^{n-1}B=A^{-1}B$

[証明]
i を正n角形の任意の頂点とし，シンメトリーによる写り先を考えると，
$i^{A}=i+1, i^{A^{-1}}=i-1, i^{B}=n+2-i$
となる．
よって， $i^{BA}=(n+2-i)^{A}=n+3-i, i^{A^{-1}B}=(i-1)^{B}=n+3-i$ となる．
任意の頂点の写り先が等しく，かつ $A^{n-1}=A^{-1}$ なので $BA=A^{n-1}B=A^{-1}B$ となる．[証明終]

一般の群Gの元aに対して， $a^{m}=1$ となるような最小の正整数mを元aの位数という．
そのようなmが存在しないとき，aの位数は無限である，またはaを無限位数の元という．

「位数」という言葉には，“群の”位数と“元の”位数の2種類あるので注意．

aの全てのベキからなる集合は群Gの巡回部分群であり，それを $\langle a \rangle$ と書く．
このとき，群 $\langle a \rangle$ の位数が元aの位数となる．
aの位数が無限のとき $\langle a \rangle$ は無限巡回群となる．

乗法群 $\mathbf{C}^{\times}$ の有限位数の元を1のベキ根という．
1のベキ根ζ の位数がnのとき，ζ を1の原始n乗根という．
1の原始n乗根とは，n乗して始めて1になる数のことである．

例：
1の3乗根： $\{1, \omega, \omega^{2} \}, (\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2})$
1の原始3乗根： $\{\omega, \omega^{2} \}$
1の4乗根： $\{ 1, -1, i, -i \}, (i^{2}=-1)$
1の原始4乗根： $\{ i, -i \}$